Question

已知數(shù)列{a_n}是由正數(shù)組成的等差數(shù)列，S_n是其前n項(xiàng)的和，并且a₃=5，a₄S₂=28．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明：不等式對一切n∈N均成立．

Answer 1

解：（I）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，由已知得…（2分）
∴（5+d）（10-3d）=28，
∴3d²+5d-22=0，
解之得d=2或．
∵數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均正，∴d=2，∴a₁=1．
∴a_n=2n-1．…（5分）
證明：（Ⅱ）∵n∈N，
∴只需證明成立．…（7分）
（i）當(dāng)n=1時，左=2，右=2，∴不等式成立．…（8分）
（ii）假設(shè)當(dāng)n=k時不等式成立，即．
那么當(dāng)n=k+1時，…（10分）
以下只需證明．
即只需證明．…（11分）
∵．
∴=．
綜合（i）（ii）知，不等式對于n∈N都成立．…（12分）
分析：（1）設(shè)出等差數(shù)列的等差為d，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，利用a₃=5，a₄•S₂=28求出d及表示出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）只需證明成立，下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明．當(dāng)n=1時，代入不等式左右端，驗(yàn)算可得證．再證明從k到k+1時，利用分析法思想向要證明的代數(shù)式轉(zhuǎn)化即可證明n=k+1時也成立，從而結(jié)論得證．
點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)學(xué)歸納法以及數(shù)列與不等式的綜合，綜合性強(qiáng)，難度較大．對于涉及正整數(shù)的不等式證明問題通常通過數(shù)學(xué)歸納法來解決．