Question

設P是圓x²+y²=4上的任意一點，過P作x軸的垂線段PD，D為垂足，M是線段PD上的點，且滿足|DM|=m|PD|（0＜m＜1），當點P在圓上運動時，記M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過曲線C的左焦點F作斜率為

2

2

的直線l交曲線C于A、B兩點，點Q滿足

OA

+

OB

+

OQ

=

0

，是否存在實數m，使得點Q在曲線C上，若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由|DM|=m|PD|，確定M，P的坐標，代入圓的方程，即可求曲線C的方程；
（2）設出直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，結合

OA

+

OB

+

OQ

=

0

，求出Q的坐標，代入橢圓方程，即可得出結論．

解答： 解：（1）如圖設M（x，y）、P（x₀，y₀），則由|DM|=m|PD|（0＜m＜1）得
x=x₀，|y|=m|y₀|，即

x0=x |y0|= 1 m |y|

∵x02+y02=4，∴

x2

4

+

y2

4m2

=1，即為曲線C的方程；…6′
（2）設c=2

1-m2

，則F(-c，0)，l：y=

2

2

(x+c)
由

x2 4 + y2 4m2 =1 y= 2 2 (x+c)

得：（2m²+1）x²+2cx+4-12m²=0…8′
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
則x1+x2=-

2c

2m2+1

，x1x2=

4-12m2

2m2+1

．
∴y1+y2=

2

2

(x1+x2+2c)，…9′
∵

OQ

=-(

OA

+

OB

)=-(x1+x2，y1+y2)=(

2c

2m2+1

，

-2 2 cm2

2m2+1

)
即Q點坐標為(

2c

2m2+1

，

-2 2 cm2

2m2+1

)，將Q點代入

x2

4

+

y2

4m2

=1，得m=

2

2

．
∴存在當m=

2

2

時，Q點在曲線C上．…13′

點評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，正確運用代入法是關鍵．