Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a_n+1＝－na_n＋1，n＝1，2，3，……

(1)當(dāng)a₁＝2時(shí)，求a₂、a₃、a₄，并由此猜想出a_n的一個(gè)通項(xiàng)公式；

(2)當(dāng)a₁≥3時(shí)，證明對所有的n≥1，有①a_n≥n＋2；②＋＋…＋≤．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　在(1)中，只要看清an與an+1的函數(shù)關(guān)系式即可順利求解．解(2)時(shí)，①考查用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，②綜合運(yùn)用探索和遞推的思想方法，有一定的靈活性和綜合性． 　　解答　　(1)由a1＝2，得a2＝a12－a1＋1＝3；得a3＝－2a2＋1＝4；由a3＝4，得＝－3a3＋1＝5．由此猜想：an＝n＋1(n∈N*) 　　(2)①用數(shù)學(xué)歸納法證明： 　　當(dāng)n＝1時(shí)，a1≥3＝1＋2，不等式成立； 　　假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，不等式成立，即ak≥k＋2 　　那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak+1＝－kak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1≥k＋3， 　　也就是說，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak+1≥(k＋1)＋2． 　　根據(jù)①和②，對于所有n≥1，有an≥n＋2． 　�、谟蒩n+1＝an(an－n)＋1及(i)，對k≥2，有 　　ak＝ak－1(ak－1－k＋1)＋1 　　≥ak－1(k－1＋2－k＋1)＋1＝2ak－1＋1， 　　…… 　　∴ak≥2k+1a1＋2k－2＋…＋2＋1 　�。�2k+2(a1＋1)－1． 　　于是≤·，k≥2， 　　≤＋ 　　＝ 　　≤≤＝．