(本題滿(mǎn)分14分)設(shè)函數(shù),
(1)求的單調(diào)區(qū)間
(2)若為整數(shù),且當(dāng)
時(shí),
,求
的最大值.
(1)若,
在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;若
,
在
單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增;(2)
【解析】
試題分析:(1)函數(shù)的定義域是
,
若,則
,所以函數(shù)
在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.
若,則當(dāng)
時(shí),
;
當(dāng)時(shí),
;所以,
在
單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增. ……6分
(II)由于,所以,
,
故當(dāng)時(shí),
等價(jià)于
①
令,則
由(I)知,函數(shù)在
上單調(diào)遞增,而
,
所以在
上存在唯一的零點(diǎn),
故在
上存在唯一的零點(diǎn),
設(shè)此零點(diǎn)為,則有
,
當(dāng)時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
;所以
在
上的最小值為
.又由
,可得
,所以
,
由于①式等價(jià)于,故整數(shù)
的最大值為
. ……14分
考點(diǎn):本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、構(gòu)造新函數(shù)求解恒成立問(wèn)題,考查學(xué)生構(gòu)造函數(shù)的能力和分類(lèi)討論思想的應(yīng)用以及運(yùn)算求解能力.
點(diǎn)評(píng):函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問(wèn)題一般都要借助于導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具,而恒成立問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題解決.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(本題滿(mǎn)分14分)
設(shè)函數(shù),
。
(1)若,過(guò)兩點(diǎn)
和
的中點(diǎn)作
軸的垂線(xiàn)交曲線(xiàn)
于點(diǎn)
,求證:曲線(xiàn)
在點(diǎn)
處的切線(xiàn)
過(guò)點(diǎn)
;
(2)若,當(dāng)
時(shí)
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(本題滿(mǎn)分14分)設(shè)函數(shù)(1)求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;(2)求
在[—1,2]上的最小值; (3)當(dāng)
時(shí),用數(shù)學(xué)歸納法證明:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011——2012學(xué)年湖北省洪湖二中高三八月份月考試卷理科數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本題滿(mǎn)分14分)設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1與
F2,直線(xiàn)過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F2且與橢圓交于P、Q兩點(diǎn),若
的周長(zhǎng)為
。
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C經(jīng)過(guò)伸縮變換變成曲線(xiàn)
,直線(xiàn)
與曲線(xiàn)
相切
且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B,若,求
面積的取值范圍。(O為坐標(biāo)原點(diǎn))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011學(xué)年浙江省杭州市高三寒假作業(yè)數(shù)學(xué)卷三 題型:解答題
(本題滿(mǎn)分14分)設(shè)M是由滿(mǎn)足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合:“①方
有實(shí)數(shù)根;②函數(shù)
的導(dǎo)數(shù)
滿(mǎn)足
”
(I)證明:函數(shù)是集合M中的元素;
(II)證明:函數(shù)具有下面的性質(zhì):對(duì)于任意
,都存在
,使得等式
成立。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011學(xué)年廣東省揭陽(yáng)市高三調(diào)研檢測(cè)數(shù)學(xué)理卷 題型:解答題
本題滿(mǎn)分14分)
設(shè)函數(shù).
(1)若,求函數(shù)
的極值;
(2)若,試確定
的單調(diào)性;
(3)記,且
在
上的最大值為M,證明:
.
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