Question

15．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點為F，離心率為$\frac{1}{2}$，直線與橢圓相交于A，B兩點，當AB⊥x軸時，△ABF的周長最大值為8．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線過點M（-4，0），求當△ABF面積最大時直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：當且僅當AB過右焦點F₂，等號成立，即△ABF的周長丨AF丨+丨BF丨+丨AB丨=4a時，取最大值，故a=2，由離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，則c=1，b²=a²-c²=3，即可求得橢圓的標準方程；
（2）設直線AB的方程為：x=my-4，代入橢圓方程，由韋達定理及弦長公式，根據三角形的面積公式可知：S_△ABF=$\frac{18\sqrt{{m}^{2}-4}}{3{m}^{2}+4}$，令t=$\sqrt{{m}^{2}-4}$（t＞0），根據基本不等式的性質即可求得m的值，求得直線AB的方程．

解答 解：（1）由題意可知：設橢圓的右焦點F₂，由橢圓的定義可知：丨AF丨+丨AF₂丨=2a，丨BF丨+丨BF₂丨=2a，
△ABF的周長丨AF丨+丨BF丨+丨AB丨≤丨AF丨+丨AF₂丨+丨BF丨+丨BF₂丨=4a，
當且僅當AB過F₂，等號成立，
∴4a=8，a=2，
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，則c=1，
b²=a²-c²=3，
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）設直線AB的方程為：x=my-4，設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=my-4}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（4+3m²）y²-24my+36=0，
則△=576m2-4×36×（4+3m²）=144（m²-4）＞0，
由韋達定理可知：y₁+y₂=$\frac{24m}{3{m}^{2}+4}$，y₁•y₂=$\frac{36}{3{m}^{2}+4}$，
丨AB丨=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$，
F到AB的距離d=$\frac{丨1-0+4丨}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\frac{3}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
∴S_△ABF=$\frac{1}{2}$•d•丨AB丨=$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$•$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$，=$\frac{18\sqrt{{m}^{2}-4}}{3{m}^{2}+4}$，
令t=$\sqrt{{m}^{2}-4}$（t＞0），
S_△ABF=$\frac{18t}{2{t}^{2}+\frac{16}{t}}$=$\frac{18}{3t+\frac{16}{t}}$≤$\frac{18}{2\sqrt{3t•\frac{16}{t}}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
當且僅當3t=$\frac{16}{t}$，即m=±$\frac{2\sqrt{21}}{3}$時，等號成立，
∴直線AB的方程為：3x-2$\sqrt{21}$y+12=0或3x+2$\sqrt{21}$y+12=0．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，弦長公式，三角形面積公式及基本不等式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．