Question

如圖，兩矩形ABCD，ABEF所在平面互相垂直，DE與平面ABCD及平面ABEF所成角分別為30°、45°，M、N分別為DE與DB的中點，且MN＝1．

(1)求證：MN丄平面ABCD

(2)求線段AB的長；

(3)求二面角A－DE－B的平面角的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)證明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD平面ABEF＝AB 　　EB⊥AB　∴EB⊥平面ABCD　又MN∥EB 　　∴MN⊥面ABCD　　(3分) 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)可知∠EDB為DE與平面ABCD所成的角 　　∴∠EDB＝30o 　　又在Rt△EBD中，EB＝2MN＝2，∠EBD＝90o 　　∴DE＝ 　　連結(jié)AE，可知∠DEA為DE與平面ABEF所成的角 　　∴∠DEA＝45o　　(5分) 　　在Rt△DAE中，∠DAE＝90o 　　∴AE＝DE　cos∠DEA＝2 　　在Rt△ABE中，　　(7分) 　　(Ⅲ)方法一：過B作BO⊥AE于O點，過O作OH⊥DE于H，連BH 　　∵AD⊥平面ABEF　BO面ABEF 　　∴BO⊥平面ADE　∴OH為BH在平面ADE內(nèi)的射影 　　∴BH⊥DE　即∠BHO為所求二面角的平面角　　(9分) 　　在Rt△ABE中，BO＝ 　　在Rt△DBE中，由BH·DE＝DB·OE得BH＝ 　　∴sin∠BHO＝　　(12分) 　　方法二：由題設(shè)及(Ⅰ)可得AF⊥AB，AF⊥AD，AB⊥AD 　　如圖分別以射線AF、AB、AD為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系A－xyz 由(Ⅱ)知，AF＝BE＝2，AB＝EF＝CD＝2，AD＝BC＝2 　　∴A(0，0，0)　B(0，2，0)　C(0，2，2)　D(0，0，2)　E(2，2，0)　F(2，0，0)　　(9分) 　　在正方形ABEF中，BF⊥AE，又AD⊥平面ABEF 　　∴BF⊥平面ADE　∴是平面ADE的法間量， 　　設(shè)平面BDE的法向量為 　　由，及⊥，⊥得 　　　∴　∴ 　　取z＝1得平面BDE的一個法向量為 　　設(shè)二面角A－DE－B的大小為α 　　則 　　∴　　(12分)