Question

閱讀下面材料：根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ----------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
令α+β=A，α-β=B有α=

A+B

2

，β=

A-B

2

代入③得 sinA+sinB=2sin

A+B

2

cos

A-B

2

．
（1）利用上述結(jié)論，試求sin15°+sin75°的值．
（2）類比上述推證方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明：cosA-cosB=-2sin

A+B

2

sin

A-B

2

．

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：綜合題,推理和證明

分析：（1）利用sinA+sinB=2sin

A+B

2

cos

A-B

2

，代入計算，即可求sin15°+sin75°的值．
（2）通過兩角和與差的余弦公式，令α+β=A，α-β=B有α=

A+B

2

，β=

A+B

2

，即可證明結(jié)果

解答： 解：（1）由題可得sin15°+sin75°=2sin

150+750

2

cos

150-750

2

=2sin450cos(-300)=

6

2

．--------（3分）
（2）根據(jù)兩角和與差的余弦公式，有：
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ…①
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ…②
由①-②得cos（α+β）-cos（α-β）=-2sinαsinβ…③
令α+β=A，α-β=B有α=

A+B

2

，β=

A+B

2

代入③得cosA-cosB=-2sin

A+B

2

sin

A+B

2

--------（8分）

點評：本小題主要考查兩角和與差三角函數(shù)公式、二倍角公式、三角函數(shù)的恒等變換等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力，運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等．