Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿(mǎn)足4（n+1）（S_n+1）=（n+2）²a_n（n∈N⁺）．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求a_n；
（3）設(shè)b_n=

n+1

an

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求證：T_n＜

3

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）取n=1，2代入即可得出；
（2）利用當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1和“累乘求積”即可得出或利用數(shù)學(xué)歸納法可得；
（3）利用“裂項(xiàng)求和”即可證明．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，有4×(1+1)(a1+1)=(1+2)2a1，解得a₁=8．
當(dāng)n=2時(shí)，有4×(2+1)(a1+a2+1)=(2+2)2a2，解得a₂=27．
（2）（法一）：當(dāng)n≥2時(shí)，有4(Sn+1)=

(n+2)2an

n+1

，…①
4(Sn-1+1)=

(n+1)2an-1

n

． …②
①-②得：4an=

(n+2)2an

n+1

-

(n+1)2an-1

n

，
化為

an

an-1

=

(n+1)3

n3

，
∴a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a2

a1

•a1=

(n+1)3

n3

×

n

(n-1)3

×…×

43

33

×

33

22

×2³=（n+1）³，
又∵當(dāng)n=1時(shí)，有a₁=8，∴an=(n+1)3．
（法二）根據(jù)a₁=8，a₂=27，猜想：an=(n+1)3． 
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，有a1=8=(1+1)3，猜想成立．
（Ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，猜想也成立，即：ak=(k+1)3．
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，有4(k+1+1)(Sk+1+1)=(k+1+2)2ak+1，
即：4(Sk+1+1)=

(k+1+2)2ak+1

k+1+1

，…①
又 4(Sk+1)=

(k+2)2ak

k+1

，…②
①-②得：4ak+1=

(k+3)2ak+1

k+2

-

(k+2)2ak

k+1

=

(k+3)2ak+1

k+2

-

(k+2)2(k+1)3

k+1

，
解，得ak+1=(k+2)3=(k+1+1)3．∴當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立．
因此，由數(shù)學(xué)歸納法證得an=(n+1)3成立．
（3）∵bn=

n+1

an

=

1

(n+1)2

＜

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n＜

1

22

+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=

1

4

+

1

2

-

1

n+1

＜

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”、放縮法證明不等式、數(shù)學(xué)歸納法等知識(shí)，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，以及化歸與轉(zhuǎn)化的思想，屬于難題．