Question

已知函數(shù)f（x）在（-1，1）有意義，f（

1

2

）=-1且任意的x、y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

），若數(shù)列{x_n}滿足x₁=

1

2

，x_n+1=

2xn

1+ x 2 n

（n∈N^*），求f（x_n）．

Answer 1

分析：先判定出

2xn

1+ x 2 n

的范圍，然后根據(jù)求出f（x₁），根據(jù)條件可得到

f(xn+1)

f(xn)

=2，從而得到f（x_n）是以-1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，最后根據(jù)等比數(shù)列的定義求出通項公式．

解答：解：∵1+x_n²≥2|x_n|∴|

2xn

1+ x 2 n

| ≤1又x1=

1

2

∴|

2xn

1+ x 2 n

|＜1
f（x₁）=f（

1

2

）=-1
而f（x_n+1）=f（

2xn

1+ x 2 n

）=f（

xn+xn

1+xnxn

）=f（x_n）+f（x_n）=2f（x_n）
∴

f(xn+1)

f(xn)

=2
∴f（x_n）是以-1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，故f（x_n）=-2^n-1

點評：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及等比數(shù)列的通項公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．