Question

已知如下等式：，，，…當(dāng)n∈N^*時，試猜想1²+2²+3²+…+n²的值，并用數(shù)學(xué)歸納法給予證明．

Answer 1

解：由已知，猜想1²+2²+3²+…+n²=，
下面用數(shù)學(xué)歸納法給予證明：
（1）當(dāng)n=1時，由已知得原式成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時，原式成立，即1²+2²+3²+…+k²=，
那么，當(dāng)n=k+1時，1²+2²+3²+…+（k+1）²=+（k+1）²
=
=
故n=k+1時，原式也成立．
由（1）、（2）知1²+2²+3²+…+n²=成立．
分析：解答此類的方法是從特殊的前幾個式子進行分析找出規(guī)律．觀察前幾個式子的變化規(guī)律，從中猜想1²+2²+3²+…+n²的值．再用數(shù)學(xué)歸納法證明，證明時分為兩個步驟，第一步，先證明當(dāng)當(dāng)n=1時，命題成立，第二步，先假設(shè)當(dāng)n=k時，原式成立，利用此假設(shè)證明當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立即可．
點評：本題主要考查歸納推理、數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法的基本形式：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1°P（n₀）成立（奠基）；2°假設(shè)P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對一切大于等于n₀的自然數(shù)n都成立．