Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）為減函數(shù)，且f（2）=0，則不等式（x-1）f（x）＞0的解集為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：奇函數(shù)滿(mǎn)足f（2）=0，可得f（-2）=-f（2）=0．對(duì)于不等式（x-1）f（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0=f（2），由于x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）為減函數(shù)，可得1＜x＜2．
當(dāng)x＜0時(shí)，利用其單調(diào)性奇偶性可得-2＜x＜0．當(dāng)0≤x≤1時(shí)，不等式的解集為∅．即可得出．

解答： 解：∵奇函數(shù)滿(mǎn)足f（2）=0，
∴f（-2）=-f（2）=0．
對(duì)于不等式（x-1）f（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0=f（2），
∵x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）為減函數(shù)，
∴1＜x＜2．
當(dāng)x＜0時(shí)，不等式（x-1）f（x）＞0，化為f（x）＜0=f（-2），
∵當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）為減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
∴-2＜x＜0．
當(dāng)0≤x≤1時(shí)，不等式的解集為∅．
綜上可得：不等式的解集為（-2，0）∪（1，2）．
故答案為：（-2，0）∪（1，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查了分類(lèi)討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．