Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零點x0 ， 且x0＞0，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.（1，+∞）
B.（2，+∞）
C.（﹣∞，﹣1）
D.（﹣∞，﹣2）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，
∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；
①當(dāng)a=0時，f（x）=﹣3x2+1有兩個零點，不成立；
②當(dāng)a＞0時，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零點，故不成立；
③當(dāng)a＜0時，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一個零點；
故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上沒有零點；
而當(dāng)x= 時，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；
故f（ ）= ﹣3 +1＞0；
故a＜﹣2；
綜上所述，
實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣2）；
故選：D．
【考點精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，需要了解二次函數(shù)的零點：（1）△＞0，方程 有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點;（2）△＝0，方程 有兩相等實根（二重根），二次函數(shù)的圖象與 軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點;（3）△＜0，方程 無實根，二次函數(shù)的圖象與 軸無交點，二次函數(shù)無零點才能得出正確答案．