Question

10、已知：a，b，c，d是不共點(diǎn)且兩兩相交的四條直線(xiàn)，求證：a，b，c，d共面．

Answer 1

分析：四條直線(xiàn)兩兩相交包括：四條直線(xiàn)中有三條相交于一點(diǎn)與四條直線(xiàn)中任何三條都不共點(diǎn)兩種情況．
無(wú)論哪種情況先由兩直線(xiàn)相交確定一個(gè)平面，再通過(guò)直線(xiàn)上兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)則該直線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)，即可證明．

解答：證明：（1）若當(dāng)四條直線(xiàn)中有三條相交于一點(diǎn)，
不妨設(shè)a，b，c相交于一點(diǎn)A，
但A∈d，如圖1．
∴直線(xiàn)d和A確定一個(gè)平面α．
又設(shè)直線(xiàn)d與a，b，c分別相交于E，F(xiàn)，G，
則A，E，F(xiàn)，G∈α．
∵A，E∈α，且A，E∈a∴a?α．
同理可證b?α，c?α．
∴a，b，c，d在同一平面α內(nèi)．
（2）當(dāng)四條直線(xiàn)中任何三條都不共點(diǎn)時(shí)，如圖2．
∵這四條直線(xiàn)兩兩相交，則設(shè)相交直線(xiàn)a，b確定一個(gè)平面α．
設(shè)直線(xiàn)c與a，b分別交于點(diǎn)H，K，則H，K∈α．
又H，K∈c，∴c?α．
同理可證d?α．
∴a，b，c，d四條直線(xiàn)在同一平面α內(nèi)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面的確定方法、線(xiàn)在面內(nèi)的判定方法及分類(lèi)討論思想．