Question

如圖，在三棱錐S-ABC，平面EFGHBC，CA，AS，SB交與點E，F(xiàn)，G，H，且SA⊥平面EFGH，SA⊥AB，EF⊥FG．
（1）AB∥平面EFGH；
（2）GH∥EF；
（3）GH⊥平面SAC．

Answer 1

解：（1）∵SA⊥平面EFGH，GH⊆平面EFGH，∴SA⊥GH
又∵在平面SAB內(nèi)，SA⊥AB，∴AB∥GH
∵AB?平面EFGH，GH⊆平面EFGH，∴AB∥平面EFGH；…（6分）
（2）∵AB∥平面EFGH，AB⊆平面ABC，平面ABC∩平面EFGH=EF
∴AB∥EF
又∵AB∥GH，∴EF∥GH…（10分）
（3）∵SA⊥平面EFGH，SA⊆平面SAC
∴平面SAC⊥平面EFGH，交線為FG
∵EF∥GH，EF⊥FG，∴GH⊥FG
∵GH⊆平面EFGH，
∴GH⊥平面SAC．…（140分）
分析：（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，得SA⊥GH，結(jié)合在同一個平面SAB內(nèi)SA⊥AB，得AB∥GH，結(jié)合線面平行判定定理，得AB∥平面EFGH；
（2）由線面平行的性質(zhì)，得AB∥EF，結(jié)合AB∥GH，得EF∥GH；
（3）由面面垂直的判定定理，得平面SAC⊥平面EFGH，而直線GH在平面EFGH內(nèi)與交線FG垂直，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，得GH⊥平面SAC．
點評：本題在四面體中證明空間的平行與垂直，著重考查了線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)和線面平行的判定等知識，屬于中檔題．