Question

已知函數(shù)。

（1）若，求a的值；

（2）若a>1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)；

（3）設(shè)函數(shù)是偶函數(shù)，若過(guò)點(diǎn)A（1，m）可作曲線y=f(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的范圍。

 

Answer 1

【答案】

(1) ；（2）單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為。（3）。

【解析】

試題分析：（1）,∵,  .3分

（2）得，

∵a>1，∴-1>1-2a,

,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和

，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為  .4分

函數(shù)的極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為  5分

(3)當(dāng)為偶函數(shù)，則a=0，

函數(shù)，  .7分

函數(shù)在的切線方程為，

且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，m）的直線有三條，即關(guān)于的方程有三個(gè)解，即關(guān)于的方程有三個(gè)解，即y=m與有三個(gè)交點(diǎn)，考慮令，則，

解得，

∴在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在和單調(diào)遞減  .12分

∵y=m與有三個(gè)交點(diǎn)，即h(0) <m<h(1)，∴

故m的取值范圍為   .10分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)的奇偶性。

點(diǎn)評(píng)：我們要注意在某點(diǎn)處的切線方程和過(guò)某點(diǎn)的切線方程的區(qū)別，在“某點(diǎn)處的切線方程”這點(diǎn)就是切點(diǎn)，而“過(guò)某點(diǎn)的切線方程”這一點(diǎn)不一定是切點(diǎn)。求曲線的切線方程，我們一般把切點(diǎn)設(shè)出。