Question

【題目】已知函數(shù) f （ x ）=sin（2x+ ）+cos（2x+ ）+2sin x cos x．
（Ⅰ）求函數(shù) f （ x） 圖象的對稱軸方程；
（Ⅱ）將函數(shù) y=f （ x） 的圖象向右平移 個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標伸長為原來的 4 倍，縱坐標不變，得到函數(shù) y=g （ x） 的圖象，求 y=g （ x） 在[ ，2π]上的值域．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f （ x ）=sin（2x+ ）+cos（2x+ ）+2sinxcosx = sin2x+ cos2x+ cos2x﹣ sin2x+sin2x
= cos2x+sin2x
=2sin（2x+ ），
∴令2x+ =kπ+ ，k∈Z，解得函數(shù) f （ x） 圖象的對稱軸方程：x= + ，k∈Z，
（Ⅱ）將函數(shù) y=f （ x） 的圖象向右平移 個單位，可得函數(shù)解析式為：y=2sin[2（x﹣ ）+ ]=2sin（2x+ ），
再將所得圖象上各點的橫坐標伸長為原來的 4 倍，縱坐標不變，得到函數(shù) 解析式為：y=g （ x）=2sin（ + ），
∵x∈[ ，2π]，
∴ + ∈[ ， ]，可得：sin（ + ）∈[﹣ ，1]，
∴g （ x）=2sin（ + ）∈[﹣1，2]
【解析】（Ⅰ）利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡函數(shù)解析式可得f （ x ）=2sin（2x+ ），令2x+ =kπ+ ，k∈Z，解得函數(shù) f （ x） 圖象的對稱軸方程．（Ⅱ）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可求g （ x）=2sin（ + ），由x∈[ ，2π]，利用正弦函數(shù)的性質可求值域．
【考點精析】關于本題考查的函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，需要了解圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數(shù)的圖象才能得出正確答案．