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7.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若sin(A-B)+sinC=2sinA.
(Ⅰ)求角B的值;
(Ⅱ)若b=2,求a2+c2的最大值,并求取得最大值時角A,C的值.

分析 (Ⅰ)由已知及三角形內角和定理,兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡可得2sinAcosB=2sinA,由于sinA≠0,即可解得cosB的值,結合范圍B∈(0,π),即可求得B的值.
(Ⅱ)由余弦定理及基本不等式可得:a2+c2-2ac=4,且ac≤a2+c22,從而可得4≥(1-22)(a2+c2),即可解得a2+c2的最大值.

解答 (本題滿分為12分)
解:(Ⅰ)在△ABC中,∵由已知及C=π-(A+B)可得:
sin(A-B)+sinC=sin(A-B)+sin(A+B)
=sinAcosB-cosAsinB+sinAcosB+cosAsinB
=2sinAcosB=2sinA…3分
∵A是三角形的內角,sinA≠0,
∴cosB=22…4分
∴由B∈(0,π),可得B=\frac{π}{4}…5分
(Ⅱ)∵由余弦定理可得:a2+c2-\sqrt{2}ac=4,且ac≤\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2},…7分
∴4=a2+c2-\sqrt{2}ac≥(a2+c2)-\frac{\sqrt{2}}{2}(a2+c2)=(1-\frac{\sqrt{2}}{2})(a2+c2),…9分
∴a2+c2\frac{4}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=8+4\sqrt{2}(當且僅當a=c時,等號成立),…11分
∴當A=C=\frac{3π}{8}時,a2+c2的最大值是8+4\sqrt{2}…12分

點評 本題主要考查了三角形內角和定理,兩角和與差的正弦函數(shù)公式,余弦定理及基本不等式在解三角形中的應用,考查了計算能力和轉化思想,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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