Question

已知（1-2x）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷，求
（Ⅰ）a₀+a₁+…+a₇的值
（Ⅱ）a₀+a₂+a₄+a₆及a₁+a₃+a₅+a₇的值；
（Ⅲ）各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和．

Answer 1

解：（Ⅰ）令x=1，則a₀+a₁+…+a₇=-1，（2分）
（Ⅱ）令x=-1，則a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₆-a₇=2187，令x=0，則a₀=1，
于是a₁+a₂+a₃+…+a₇=-2，
a₁+a₃+a₅=-1094，；（5分）
a₀+a₂+a₄+a₆=1093．（8分）
（Ⅲ）各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和C₇⁰+C₇¹+…+C₇⁷=2⁷=128．（12分）
分析：（Ⅰ）在（1-2x）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷中，令x=1，能求出a₀+a₁+…+a₇的值．
（Ⅱ）在（1-2x）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷中，令x=-1，得a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₆-a₇=2187，令x=0，得a₀=1，由此能求出a₀+a₂+a₄+a₆及a₁+a₃+a₅+a₇的值．
（Ⅲ）各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和C₇⁰+C₇¹+…+C₇⁷=2⁷=128．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意合理地選用公式．