Question

已知離心率為的橢圓過(guò)點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知與圓相切的直線l與橢圓C相交于不同兩點(diǎn)A、B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)離心率為的橢圓過(guò)點(diǎn)，建立方程，確定幾何量的值，即可得到橢圓C的方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l：x=，此時(shí)=
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx+m由l于圓相切得3m²-8k²-8=0，將l代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量的數(shù)量積公式，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）∵離心率為的橢圓過(guò)點(diǎn)．
∴，
∴a²=8，b²=4
∴橢圓C的方程為；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l：x=，此時(shí)x₁=x₂=，y₁=-y₂，
∴=
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx+m
由l于圓相切得：
∴3m²-8k²-8=0
將l代入橢圓方程可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0
∴x₁+x₂=-，
∴=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²==0
綜上，=0
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理解題是關(guān)鍵．