Question

已知函數(shù)f（x）=

A

2

-

A

2

（2ωx+2φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

），且y=f（x）的最大值為2，其圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2，并過(guò)點(diǎn)（1，2），
（1）求 A，ω，φ的值；
（2）計(jì)算f（1）+f（2）+…+f（2013）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由函數(shù)的最大值為2結(jié)合函數(shù)解析式得到A，再由圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2求得周期，則ω可求，結(jié)合函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（1，2）求得φ的值；
（2）由函數(shù)解析式求得f（1）+f（2）+f（3）+f（4），并得到函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的周期性求得f（1）+f（2）+…+f（2013）的值．

解答： 解：（1）y=

A

2

-

A

2

cos(2ωx+2ϕ)，
∵y=f（x）的最大值為2，A＞0，
∴

A

2

+

A

2

=2，即A=2．
又∵其圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2，
∴

1

2

•

2π

2ω

=2，ω=

π

4

．
∴f(x)=

2

2

-

2

2

cos(

π

2

x+2φ)=1-cos(

π

2

x+2φ)．
∵y=f（x）過(guò)點(diǎn)（1，2），
∴cos(

π

2

+2φ)=-1．
∴2φ=2kπ+

π

2

（k∈Z），
∴φ=kπ+

π

4

，
又0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

4

；
（2）∵y=1-cos(

π

2

x+

π

2

)=1+sin

π

2

x，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0=1=4，
又∵y=f（x）的周期為4，且2013=4×503+1．
∴f（1）+f（2）+…+f（2013）=2014．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了y=Asin（ωx+φ）的圖象和性質(zhì)，考查了三角函數(shù)值的求法，是中檔題．