若在x∈[0,
π
2
]內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)值滿足等式cos2x+
3
sin2x=k+1,則k的取值范圍是(  )
分析:把已知等式左邊提取2后,利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù),由x的范圍求出這個(gè)角的范圍,畫(huà)出此時(shí)正弦函數(shù)的圖象,根據(jù)函數(shù)值y對(duì)應(yīng)的x有兩個(gè)不同的值,由圖象得出滿足題意的正弦函數(shù)的值域,列出關(guān)于k的不等式,求出不等式的解集即可得到k的取值范圍.
解答:解:cos2x+
3
sin2x=k+1,
得2(
1
2
cos2x+
3
2
sin2x)=k+1,即2sin(2x+
π
6
)=k+1,
可得:sin(2x+
π
6
)=
k+1
2
,
由0≤x≤
π
2
,得
π
6
≤2x+
π
6
6
,
∵y=sin(2x+
π
6
)在x∈[0,
π
2
]上的圖象形狀如圖,

∴當(dāng)
1
2
k+1
2
<1時(shí),方程有兩個(gè)不同的根,
解得:0≤k<1.
答案:D
點(diǎn)評(píng):此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式,正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),以及正弦函數(shù)的定義域與值域,利用了數(shù)形結(jié)合的思想,解題的思路為:利用三角函數(shù)的恒等變形把已知等式的左邊化為一個(gè)正弦函數(shù),利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

二次函數(shù)f(x)的圖象頂點(diǎn)為A(1,16),且圖象在x軸上截得線段長(zhǎng)為8.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)令g(x)=(2-2a)x-f(x);
①若函數(shù)g(x)在x∈[0,2]上是單調(diào)增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
②求函數(shù)g(x)在x∈[0,2]的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•德州二模)已知向量
a
=(2cosωx,-1),
b
=(
3
sinωx+cosωx,1)(ω>0),函數(shù)f(x)=
a
b
的最小正周期為π.
(I)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式及最大值;
(Ⅱ)若在x∈[0,
π
2
]
上f(x)≥a恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)f(x)=sin(x+),若在x∈[0,2π]上關(guān)于x的方程f(x)=m有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1、x2,則x1+x2為_(kāi)_________.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:德州二模 題型:解答題

已知向量
a
=(2cosωx,-1),
b
=(
3
sinωx+cosωx,1)(ω>0),函數(shù)f(x)=
a
b
的最小正周期為π.
(I)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式及最大值;
(Ⅱ)若在x∈[0,
π
2
]
上f(x)≥a恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案