Question

已知函數(shù)f（x）=2﹣|x|，無(wú)窮數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n），n∈N^*

（1）若a₁=0，求a₂，a₃，a₄；

（2）若a₁＞0，且a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，求a₁的值

（3）是否存在a₁，使得a₁，a₂，…，a_n，…成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的a₁，若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）a₂=2，a₃=0，a₄=2（2）a₁=1或（3）存在

【解析】

試題分析：（1）由題意，代入計(jì)算得a₂=2，a₃=0，a₄=2；

（2）a₂=2﹣|a₁|=2﹣a₁，a₃=2﹣|a₂|=2﹣|2﹣a₁|，

①當(dāng)0＜a₁≤2時(shí)，a₃=2﹣（2﹣a₁）=a₁，

所以，得a₁=1；

②當(dāng)a₁＞2時(shí)，a₃=2﹣（a₁﹣2）=4﹣a₁，

所以，得（舍去）或．

綜合①②得a₁=1或．

（3）假設(shè)這樣的等差數(shù)列存在，那么a₂=2﹣|a₁|，

a₃=2﹣|2﹣|a₁||，由2a₂=a₁+a₃得2﹣a₁+|2﹣|a₁||=2|a₁|（*），

以下分情況討論：

①當(dāng)a₁＞2時(shí)，由（*）得a₁=0，與a₁＞2矛盾；

②當(dāng)0＜a₁≤2時(shí)，由（*）得a₁=1，從而a_n=1（n=1，2，…），

所以{a_n}是一個(gè)等差數(shù)列；

③當(dāng)a₁≤0時(shí)，則公差d=a₂﹣a₁=（a₁+2）﹣a₁=2＞0，

因此存在m≥2使得a_m=a₁+2（m﹣1）＞2，

此時(shí)d=a_m+1﹣a_m=2﹣|a_m|﹣a_m＜0，矛盾．

綜合①②③可知，當(dāng)且僅當(dāng)a₁=1時(shí)，a₁，a₂，…，a_n，…成等差數(shù)列．

考點(diǎn)：等差關(guān)系的確定；數(shù)列的函數(shù)特性；等比關(guān)系的確定

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的函數(shù)特性、等差關(guān)系等比關(guān)系的確定，考查分類討論思想，考查學(xué)生邏輯推理能力、分析解決問(wèn)題的能力，綜合性強(qiáng)，難度較大