Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點為F（3，0），其短軸上的一個端點到F的距離為5．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點P是橢圓C上的動點，點M滿足|

MF

|=1且

MP

•

MF

=0，求|

PM

|的最小值；
（3）設(shè)橢圓C的上下頂點分別為A₁、A₂，點Q是橢圓上異于A₁、A₂的任一點，直線QA₁、QA₂分別于x軸交于點D、E，若直線OT與過點D、E的圓相切，切點為T，試探究線段OT的長是否為定值？若是定值，求出該定值，若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件得c=3，a=5，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由|

MF

|知，點M在以F為圓心，以1為半徑的圓上，由

MP

•

MF

=0知，MP為圓F的切線，M為切點，故||PM|²=|PF|²-1，當|PF|取最小值時，|PM|取最小值，由此能求出|

PM

|的最小值．
（3）設(shè)點Q（x₀，y₀），（x₀≠0，y₀≠±4），則直線QA₁與QA₂的方程分別為：lQA1：y-4=

y0-4

x0

x，lQA2：y+4=

y0+4

x0

x，由已知條件推導出|OD|•|OE|=|

16x02

y02-16

|=25，由此利用切割線定理能求出線段OT的長為定值5．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點為F（3，0），
其短軸上的一個端點到F的距離為5．
∴c=3，a=5，∴b²=25-9=16，
∴橢圓C的方程為

x2

25

+

y2

16

=1．
（2）由|

MF

|知，點M在以F為圓心，以1為半徑的圓上，
由

MP

•

MF

=0知，MP為圓F的切線，M為切點，故||PM|²=|PF|²-1，
當|PF|取最小值時，|PM|取最小值，
設(shè)P（x₀，y₀），則|PF|²=（x₀-3）²+y02=

9

25

(x0-

25

3

)2，
又-5≤x₀≤5，當x₀=5時，（|PF|²）_min=4，
∴|

PM

|的最小值為

3

．
（3）由（1）知橢圓上下頂點坐標分別為A₁（0，4），A₂（0，-4），
設(shè)點Q（x₀，y₀），（x₀≠0，y₀≠±4），則直線QA₁與QA₂的方程分別為：
lQA1：y-4=

y0-4

x0

x，lQA2：y+4=

y0+4

x0

x，
令y=0，分別得xD=-

4x0

y0-4

，xE=

4x0

y0+4

，
∴|OD|•|OE|=|

-4x0

y0-4

•

4x0

y0+4

|=|

16x02

y02-16

|，
又

x02

25

+

y02

16

=1，得16x₀²=25（16-y02），
∴|OD|•|OE|=|

16x02

y02-16

|=25，
由切割線定理得：|OT|²=|OD||OE|=25，
即線段OT的長為定值且|OT|=5．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查線段長最小值的求法，考查線段OT的長是否為定值的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．