已知定點(diǎn)A(－2，－4)，過(guò)點(diǎn)A作傾斜角為45 的直線l，交拋物線y2＝2px(p＞0)于B、C兩點(diǎn)，且|BC|＝210．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）中的拋物線上是否存在點(diǎn)D，使得|DB|＝|DC|成立？如果存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

(Ⅰ)  y2＝2x．  (Ⅱ)   見(jiàn)解析


解析:

(Ⅰ)直線l方程為y＝x－2，將其代入y2＝2px，并整理，得

x2－2(2＋p)x＋4＝0…①，∵p＞0，∴△＝4(2＋p)2－16＞0，

設(shè)B(x1,y1)、C(x2,y2)，∴x1＋x2＝4＋2p，x1·x2＝4，∵|BC|＝210，而|BC|＝1＋k2|x1－x2|，

∴22p2＋4p＝210，解得p＝1，∴拋物線方程y2＝2x．

(Ⅱ)假設(shè)在拋物線y2＝2x上存在點(diǎn)D(x3,y3)，使得|DB|＝|DC|成立，

記線段BC中點(diǎn)為E(x0,y0)，則|DB|＝|DC| DE⊥BC kDE＝－1k1＝－1，

當(dāng)p＝1時(shí)，①式成為x2－6x＋4＝0，∴x0＝x1＋x22＝3，y0＝x0－2＝1，

∴點(diǎn)D(x3,y3)應(yīng)滿足   y23＝2x3y3－1x3－3＝－1，解得  x3＝2y3＝2或  x3＝8y3＝－4．

∴存在點(diǎn)D(2，2)或(8，－4)，使得|DB|＝|DC|成立．

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A、
π
6
B、
π
4
C、arccos
2
3
D、arccos
2
4

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已知定點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），曲線E上任一點(diǎn)P滿足|PA|-|PB|=2．
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（2）延長(zhǎng)PB與曲線E交于另一點(diǎn)Q，求|PQ|的最小值；
（3）若直線l的方程為x=a（a≤
12
），延長(zhǎng)PB與曲線E交于另一點(diǎn)Q，如果存在某一位置，使得PQ的中點(diǎn)R在l上的射影C滿足PC⊥QC，求a的取值范圍．

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1
4
，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
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（II ）過(guò)定點(diǎn)T（-1，0）的動(dòng)直線l與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)S（s，0），使得
SP
•
SQ
為定值，若存在求出s的值；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

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