【答案】
分析:法一:(Ⅰ)證明面PAD⊥面PCD,只需證明面PCD內(nèi)的直線CD,垂直平面PAD內(nèi)的兩條相交直線AD、PD即可;
(Ⅱ)過點B作BE∥CA,且BE=CA,∠PBE是AC與PB所成的角,解直角三角形PEB求AC與PB所成的角;
(Ⅲ)作AN⊥CM,垂足為N,連接BN,說明∠ANB為所求二面角的平面角,在三角形AMC中,用余弦定理求面AMC與面BMC所成二面角的大小.
法二:以A為坐標原點AD長為單位長度,建立空間直角坐標系,
(Ⅰ)求出
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/0.png)
,計算
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/1.png)
,推出AP⊥DC.,然后證明CD垂直平面PAD,即可證明面PAD⊥面PCD;
(Ⅱ)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/2.png)
,計算
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/3.png)
.即可求得結果.
(Ⅲ)在MC上取一點N(x,y,z),則存在使
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/4.png)
,說明∠ANB為所求二面角的平面角.求出
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/5.png)
,計算
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/6.png)
即可取得結果.
解答:![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/images7.png)
法一:(Ⅰ)證明:∵PA⊥面ABCD,CD⊥AD,
∴由三垂線定理得:CD⊥PD.
因而,CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線AD,PD都垂直,
∴CD⊥面PAD.
又CD?面PCD,
∴面PAD⊥面PCD.
(Ⅱ)解:過點B作BE∥CA,且BE=CA,
則∠PBE是AC與PB所成的角.
連接AE,可知AC=CB=BE=AE=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/7.png)
,又AB=2,
所以四邊形ACBE為正方形.由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°
在Rt△PEB中BE=a
2=3b
2,PB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/8.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/9.png)
.
∴AC與PB所成的角為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/10.png)
.
(Ⅲ)解:作AN⊥CM,垂足為N,連接BN.
在Rt△PAB中,AM=MB,又AC=CB,
∴△AMC≌△BMC,
∴BN⊥CM,故∠ANB為所求二面角的平面角
∵CB⊥AC,由三垂線定理,得CB⊥PC,
在Rt△PCB中,CM=MB,所以CM=AM.
在等腰三角形AMC中,AN•MC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/11.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/12.png)
.
∴AB=2,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/13.png)
故所求的二面角為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/14.png)
.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/images16.png)
法二:因為PA⊥PD,PA⊥AB,AD⊥AB,以A為坐標原點AD長為單位長度,
如圖建立空間直角坐標系,則各點坐標為
A(0,0,0)B(0,2,0),C(1,1,0),
D(1,0,0),P(0,0,1),M
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/15.png)
(Ⅰ)證明:因為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/16.png)
,
故
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/17.png)
,所以AP⊥DC.
又由題設知AD⊥DC,且AP與與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線,由此得DC⊥面PAD.
又DC在面PCD上,故面PAD⊥面PCD
(Ⅱ)解:因
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/18.png)
,
故
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/19.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/20.png)
,
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/21.png)
由此得AC與PB所成的角為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/22.png)
.
(Ⅲ)解:在MC上取一點N(x,y,z),
則存在使
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/23.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/24.png)
,
∴x=1-λ,y=1,z=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/25.png)
λ.
要使AN⊥MC,只需
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/26.png)
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/27.png)
,
解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/28.png)
.可知當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/29.png)
時,N點坐標為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/30.png)
,能使
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/31.png)
.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/32.png)
,
有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/33.png)
由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/34.png)
得AN⊥MC,BN⊥MC.所以∠ANB為所求二面角的平面角.
∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/35.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/36.png)
.
故所求的二面角為arccos
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212635834716283/SYS201310232126358347162017_DA/37.png)
.
點評:本題考查平面與平面垂直,二面角的求法,異面直線所成的角,考查空間想象能力,邏輯思維能力,轉化思想,是中檔題.