Question

以下正確命題的個(gè)數(shù)為（　�。�
①命題“存在x∈R，x²-x-2≥0”的否定是：“不存在x∈R，x²-x-2＜0”；
②函數(shù)f（x）=x 

1

3

-（

1

2

）^x的零點(diǎn)在區(qū)間（

1

3

，

1

2

）內(nèi)；
③已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（1，σ²），P（ξ≤4）=0.79，則P（ξ≤-2）=0.21；
④函數(shù)f（x）=e^-x-e^x的圖象的切線的斜率的最大值是-2；
⑤線性回歸直線

y

=

b

x+

a

恒過樣本中心（

.

x

，

.

y

），且至少過一個(gè)樣本點(diǎn)．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：①寫出命題“存在x∈R，x²-x-2≥0”的否定可判斷①；
②利用零點(diǎn)存在定理可得f（

1

3

）•f（

1

2

）＜0，可判斷②；
③隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（1，σ²），且P（ξ≤4）=0.79，利用正態(tài)密度曲線的性質(zhì)可求得P（ξ≤-2）的值，可判斷③；
④求得函數(shù)f（x）=e^-x-e^x的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=-e^-x-e^x=-（e^-x+e^x）≤-2，可判斷④；
⑤利用線性回歸直線

y

=

b

x+

a

恒過樣本中心（

.

x

，

.

y

）的特點(diǎn)，不一定過任何一個(gè)樣本點(diǎn)可判斷⑤．

解答： 解：①命題“存在x∈R，x²-x-2≥0”的否定是：“?x∈R，x²-x-2＜0”，故①錯(cuò)誤；
②∵f（x）=x 

1

3

-（

1

2

）^x，f′（x）=

1

3

x-

2

3

+（

1

2

）^xln2＞0，
∴f（x）為增函數(shù)，
又f（

1

3

）=(

1

3

)

1

3

-(

1

2

)

1

3

＜0，f（

1

2

）=(

1

2

)

1

3

-(

1

2

)

1

2

＞0，即f（

1

3

）•f（

1

2

）＜0，
∴零點(diǎn)在區(qū)間（

1

3

，

1

2

）內(nèi)，故②正確；
③隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（1，σ²），∵P（ξ≤4）=0.79，
∴P（ξ≥4）=P（ξ≤-2）=1-P（ξ≤4）=1-0.79=0.21，故③正確；
④∵f（x）=e^-x-e^x，
∴函數(shù)f（x）=e^-x-e^x的圖象的切線的斜率k=f′（x）=-e^-x-e^x=-（e^-x+e^x）≤-2，
即切線的斜率的最大值是-2，故④正確；
⑤線性回歸直線

y

=

b

x+

a

恒過樣本中心（

.

x

，

.

y

），可能不過任何一個(gè)樣本點(diǎn)，故⑤錯(cuò)誤．
綜上所述，正確命題的個(gè)數(shù)為3個(gè)，
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的集合意義、正態(tài)密度曲線、回歸分析及全稱命題與特稱命題的應(yīng)用，基本知識(shí)的考查．