Question

 如圖，在三棱錐P-ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2

（Ⅰ）證明：AP⊥BC；

（Ⅱ）在線段AP上是否存在點M，使得二面角A-MC-B為直二面角？若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由。

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 本題主要考查空間點、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識，空間向量的應(yīng)用，同事考查想象能力和運算求解能力。滿分15分。

        方法以：

      （Ⅰ）證明：如圖，以O(shè)為原點，以射線OP為z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz

          則O（0,0,0），A（0，-3,0），B（4,2,0），C（-4,2,0）

P（0,0,4）由此可得所以

⊥，即AP⊥BC.

（Ⅱ）解：設(shè)

   

 

設(shè)平面BMC的法向量

平面APC的法向量

由

得

即可取

由即得可取

由，得

解得，故AM=3

綜上所述，存在點M符合題意，AM=3。

方法二：

（Ⅰ）證明：由AB=AC,D是BC的中點，得AD⊥BC,

      又PO⊥平面ABC,得PO⊥BC。

      因為PO∩BC=0，所以BC⊥平面PAD

故BC⊥PA.

（Ⅱ）解：如圖，在平面PAD內(nèi)作BM⊥PA于M,連CM.

    由（Ⅰ）中知AP⊥BC,得AP⊥平面BMC.

    又AP平面APC,所以平面BMC⊥平面APC。

    在Rt⊿ADB中，AB²=AD²+BD²=41，得AB=

在Rt⊿POD中, PB²=PO²+OD²,

在Rt⊿PDB中, PB²=PD²+BD²,

所以PB²=PO²+OD²+BD²=36，得PB=6.

在Rt⊿POA中, PA²=AO²+OP²=25,得PA=5

又

從而所以

綜上所述，存在點M符合題意，AM=3.