已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體;存在非零常數(shù)T,對任意x∈R,有f(x+T)=Tf(x)成立.
(1)函數(shù)f(x)=x是否屬于集合M?說明理由;
(2)設函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1)的圖象與y=x的圖象有公共點,證有:f(x)=ax∈M;
(3)若函數(shù)f(x)=sinkx,x∈M,求實數(shù)k的取值范圍.
解答 (1)對于非零常數(shù)T,f(x+T)=x+T,Tf(x)=Tx. 因為對任意x∈R,x+T=Tx不能恒成立, 所以f(x)=xM. (2)因為函數(shù)f(x)=ax(a>0且a≠0)的圖象與函數(shù)y=x的圖象有公共點, 所以方程組有解,消去y得ax=x, 顯然x=0不是方程ax=x的解,所以存在非零常數(shù)T,使aT=T.于是對于f(x)=ax,有 f(x+T)=ax+T=aT·ax=T·ax=Tf(x), 故f(x)=ax∈M. (3)當k=0時,f(x)=0,顯然f(x)=0∈M. 當k≠0時,因為f(x)=sinkx∈M, 所以存在非零常數(shù)T, 對任意x∈R,有f(x+T)=Tf(x)成立, 即sin(kx+kT)=Tsinkx. 因為k≠0時,且x∈R,所以kx∈R,kx+kT∈R, 于是sinkx∈[-1,1],sin(kx+kT)∈[-1,1], 故要使sin(kx+kT)=Tsinkx成立,只有T=±1. 當T=1時,sin(kx+k)=sinkx成立, 則k=2mπ,m∈Z 當T=-1時,sin(kx-k)=-sinkx成立. 即sin(kx-k+π)=sinkx成立, 則-k+π=2mπ,m∈Z,即K=-(2m-1)π,m∈Z. 綜合得,實數(shù)k的取值范圍是{k|k=mπ,m∈Z}. |
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
1 |
x |
a |
x2+1 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
k | 2 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
f(x)+λf(t) |
1+λ |
s+λt |
1+λ |
x+1 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
a |
2 |
b |
2 |
x-1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
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