Question

已知：正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，AA₁=2，E為棱CC₁的中點．
（Ⅰ）求證：AC∥平面B₁DE；
（Ⅱ）求三棱錐A-BDE的體積．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：作BB₁的中點F，連接AF、CF、EF．
∵E、F是CC₁、BB₁的中點，∴CE∥B₁F，且CE=B₁F，
∴四邊形B₁FCE是平行四邊形，∴CF∥B₁E．
∵E，F(xiàn)是CC₁、BB₁的中點，∴，
又，∴．
∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴AF∥ED，
∵AF∩CF=F，B₁E∩ED=E，
∴平面ACF∥面B₁DE．
又AC?平面ACF，∴AC∥面B₁DE．
（Ⅱ）．．
分析：（1）作BB₁的中點F，連接AF、CF、EF，由三角形中位線定理，我們易證明AF∥ED，CF∥B₁E．結(jié)合面面垂直的判定定理可得平面ACF∥面B₁DE，再由面面平行的性質(zhì)得到AC∥平面B₁DE；
（Ⅱ）由（1）的結(jié)論，由三棱錐的幾何特征，我們可得三棱錐A-BDE的體積，計算出底面面積及棱錐的高，代入體積公式即可得到答案．
點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，棱錐的體積，證明線面平行有兩種辦法，一是利用線面平行的判定定理，本題較難實現(xiàn)；二是先證明面面平行，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)，得到線面平行．