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17.將函數(shù)f(x)=sin2x+3cos2x的圖象向左平移φ(φ>0)個(gè)單位后,所得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則φ的最小值為\frac{π}{12}

分析 由兩角和的正弦化簡(jiǎn)y=\sqrt{3}cos2x+sin2x,平移后由函數(shù)為偶函數(shù)得到2φ+\frac{π}{3}=kπ+\frac{π}{2},由此可求最小正數(shù)φ的值.

解答 解:∵y=\sqrt{3}cos2x+sin2x=2(\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x+\frac{1}{2}sin2x)=2sin(2x+\frac{π}{3}),
∴將函數(shù)y=\sqrt{3}cos2x+sin2x(x∈R)的圖象向左平移φ(φ>0)個(gè)長(zhǎng)度單位后,
所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=2sin(2x+2φ+\frac{π}{3}).
∵所得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,
∴y=2sin(2x+2φ+\frac{π}{3})為偶函數(shù).
即2φ+\frac{π}{3}=kπ+\frac{π}{2},φ=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12},k∈Z.
當(dāng)k=0時(shí),φ的最小值為\frac{π}{12}
故答案為:\frac{π}{12}

點(diǎn)評(píng) 本題考查了y=Asin(ωx+φ)型函數(shù)的圖象平移,考查了三角函數(shù)奇偶性的性質(zhì),是基礎(chǔ)題.

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