Question

【題目】已知過(guò)點(diǎn)A（0，1）且斜率為k的直線l與圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)．
（1）求k的取值范圍；
（2）請(qǐng)問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)k使得 （其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），如果存在請(qǐng)求出k的值，并求|MN|；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題設(shè)，可知直線l的方程為y=kx+1，因?yàn)橹本�l與圓C交于兩點(diǎn)，

由已知可得圓C的圓心C的坐標(biāo)（2，3），半徑R=1．

故由 ＜1，解得： ＜k＜

所以k的取值范圍為得（ ， ）

（2）解：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）．

將y=kx+1代入方程：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，

整理得（1+k2）x2﹣4（1+k）x+7=0．

所以x1+x2= ，x1x2= ，

=x1x2+y1y2=（1+k2）（x1x2）+k（x1+x2）+1= =12，

解得k=1，所以直線l的方程為y=x+1．

故圓心C在直線l上，所以|MN|=2．

【解析】（1）設(shè)出直線方程，利用直線與圓的位置關(guān)系，列出不等式求解即可．（2）設(shè)出M，N的坐標(biāo)，利用直線與圓的方程聯(lián)立，通過(guò)韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積，求出直線的斜率，然后判斷直線與圓的位置關(guān)系求解|MN|即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與圓的三種位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握直線與圓有三種位置關(guān)系：無(wú)公共點(diǎn)為相離；有兩個(gè)公共點(diǎn)為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點(diǎn)為相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)才能正確解答此題．