對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，則稱x0為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)．如果函數(shù)

f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)x1，x2．

⑴若x1<1<x2，且f(x)的圖象關(guān)于直線x＝m對(duì)稱，求證：<m<1；

⑵若|x1|<2且|x1－x2|＝2，求b的取值范圍．

見(jiàn)解析


解析:

(Ⅰ)證明：g(x)＝f(x)－x＝ax2＋(b－1)x＋1?且a＞0  ∵x1＜1＜x2＜2

∴(x1－1)(x2－1)＜0即x1x2＜(x1＋x2)－1           

于是

＞［(x1＋x2)－1］＝         

又∵x1＜1＜x2＜2  ∴x1x2＞x1于是有ｍ＝(x1＋x2)－x1x2＜(x1＋x2)－x1＝x2＜1  ∴＜m＜1              

(Ⅱ)解：由方程＞0，∴x1x2同號(hào)

(ⅰ)若0＜x1＜2則x2－x1＝2

∴x2＝x1＋2＞2  ∴g(2)＜0

即4a＋2b－1＜0       ①

又(x2－x1)2＝     

∴，(∵a＞0)代入①式得

＜3－2b，解之得：b＜             

(ⅱ)若－2＜x1＜0，則x2＝－2＋x1＜－2 ∴g(－2)＜0，即4a－2b＋3＜0  ②

又代入②得＜2b－1解之得b＞

綜上可知b的取值范圍為      

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（08年黃岡中學(xué)一模理） (本小題滿分14分)對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在，使成立，則稱x0為f(x)的不動(dòng)點(diǎn). 如果函數(shù)有且僅有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)0，2，且

（1）試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知各項(xiàng)不為零且不為1的數(shù)列{an}滿足，求證：；

（3）設(shè)，為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求證：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

       對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，則稱x0為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)  已知函數(shù)f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)

（1）若a=1,b=–2時(shí)，求f(x)的不動(dòng)點(diǎn)；

（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f(x)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若y=f(x)圖像上A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，且A、B關(guān)于直線y=kx+對(duì)稱，求b的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2014屆湖南師大附中高三第二次月考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

對(duì)于函數(shù)f(x)，若在其定義域內(nèi)存在兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b(a＜b)，使當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，f(x)的值域也是[a，b]，則稱函數(shù)f(x)為“布林函數(shù)”，區(qū)間[a，b]稱為函數(shù)f(x)的“等域區(qū)間”.

（1）布林函數(shù)的等域區(qū)間是         .

（2）若函數(shù)是布林函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是           .

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2014屆湖南省華容縣高一第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

(本小題滿分6分）對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在x0ÎR，使f(x0)＝x0成立，則稱點(diǎn)(x0，x0)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx-b有不動(dòng)點(diǎn)(1,1)和(-3,-3)，求a、b的值。

 

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