Question

15．如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，點M在線段EC上．
（Ⅰ）當點M為EC中點時，求證：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）當平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$時，求棱錐M-BDE的體積．

Answer 1

分析 （I）取DE中點N，連接MN，AN，由三角形中位線定理，結合已知中AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，易得四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN，再由線面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，利用二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$，求出M的坐標，即可求三棱錐M-BDE的體積．

解答 （Ⅰ）證明：取DE中點N，連接MN，AN．
在△EDC中，M、N分別為EC，ED的中點，
所以MN∥CD，且MN=$\frac{1}{2}$CD．
由已知AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}$CD，
所以MN∥AB，且MN=AB．
所以四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN
又因為AN?平面ADEF，且BM?平面ADEF，
所以BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）解：以直線DA、DC、DE分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），E（0，0，2）．
設M（x，y，z），則$\overrightarrow{EM}$=（x，y，z-2），
又$\overrightarrow{EC}$=（0，4，-2），設$\overrightarrow{EM}$=λ$\overrightarrow{EC}$（0＜λ＜1），則X=0，Y=4λ，Z=2-2λ，即m（0，4λ，2-2λ）．
設$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面BDM的法向量，則$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y=0}\\{4λy+（2-2λ）z=0}\end{array}\right.$
取x=1得平面BDM的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，-1，$\frac{2λ}{1-λ}$）．
由題可知，$\overrightarrow{OA}$=（2，0，0）是平面ABF的一個法向量．
因此，cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{2}{2\sqrt{2+\frac{4{λ}^{2}}{（1-λ）^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
所以λ=$\frac{1}{2}$，
即點M為EC中點．此時，S_△DEM=2，AD三棱錐B-DEM的高，
所以，V_M-BDE=V_B-DEM=$\frac{1}{3}•2•2=\frac{4}{3}$．

點評 本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，熟練掌握利用向量知識解決立體幾何問題是解答本題的關鍵．