在四棱錐中，平面，是正三角形，與的交點恰好是中點，又，，點在線段上，且．

（1）求證：；
（2）求證：平面；
（3）求二面角的余弦值．

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

解析試題分析：(1)線線垂直是通過線面垂直證明，由已知，，從而平面，進而可證明；（2）要證明直線和平面平行，只需在平面內(nèi)找一條直線與之平行即可，該題中通過計算得，從而說明，進而證明面；（3）二面角的求法：根據(jù)已知條件選三條兩兩垂直的直線，分別作為軸，建立空間直角坐標系，表示相關(guān)點的坐標，并求二面角兩個半平面的法向量，再求法向量的夾角，通過觀察二面角是銳二面角還是鈍二面角，決定二面角余弦值的正負，該題中，可選的方向為軸的正方向，而且面的法向量就是，故只需求面的法向量即可．
試題解析：(I) 因為是正三角形，是中點，所以,即，又因為，平面，，又，所以平面，
又平面，所以．
（Ⅱ）在正三角形中，， 在中，因為為中點，，所以
，所以，所以，在等腰直角三角形中，，，所以，，所以，又平面，平面，所以平面．

（Ⅲ）因為，所以，分別以為軸, 軸, 軸建立如圖的空間直角坐標系，所以
由（Ⅱ）可知，為平面的法向量 ，，
設(shè)平面的一個法向量為,則，即，令則平面的一個法向量為， 設(shè)二面角的大小為， 則          

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知平行四邊形ABCD(圖1)中,AB=4,BC=5,對角線AC=3,將三角形ACD沿AC折起至PAC位置(圖2),使二面角為600,G,H分別是PA,PC的中點.

（1）求證:PC平面BGH;
（2）求平面PAB與平面BGH夾角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，菱形ABCD中，，平面ABCD，平面ABCD，

(1)求證：平面BDE；
(2)求銳二面角的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示的四棱錐中，底面為菱形，平面，為 的中點，

求證：（I）平面； （II）平面⊥平面.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．

（1）試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）求棱錐E-DFC的體積；
（3）在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，五面體中，四邊形ABCD是矩形，DA面ABEF，且DA=1，AB//EF，，P、Q、M分別為AE、BD、EF的中點.

求證：（I）PQ//平面BCE； 
（II）求證：AM平面ADF；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱（側(cè)棱和底面垂直的棱柱）中，平面側(cè)面，,，且滿足.

（1）求證：；
（2）求點的距離；
（3）求二面角的平面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD為正方形，PA平面ABCD，且AD= 2PA，E、F、G、H分別是線段PA、PD、CD、BC的中點．

(I)求證：BC∥平面EFG；
(II)求證：DH平面AEG．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

正方體的棱長為，線段上有兩個動點，且，則下列結(jié)論中錯誤的是(     )

A．
B．三棱錐的體積為定值
C．二面角的大小為定值
D．異面直線所成角為定值

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