Question

（2012•杭州一模）在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，其前n項(xiàng)和S_n滿足Sn2=an(Sn-

1

2

)．
（1）求a_n；
（2）令bn=

Sn

2n+1

，求數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n=S_n-S_n-1，代入已知整理可得S_n-1-S_n=2S_nS_n-1，即

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求S_n，進(jìn)而可求當(dāng)n≥2時(shí)a_n，在對(duì)n=1時(shí)求a₁，從而可求a_n
（2）由于bn=

Sn

2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，考慮利用裂項(xiàng)求和即可

解答：解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，
∴Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)=Sn2-

1

2

Sn-SnSn-1+

1

2

Sn-1，
∴S_n-1-S_n=2S_nS_n-1，
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，
即數(shù)列{

1

Sn

}為等差數(shù)列，S₁=a₁=1，
∴

1

Sn

=

1

S1

+(n-1)×2=2n-1，
∴Sn=

1

2n-1

，…（4分）
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n-1=

1

2n-1

-

1

2n-3

=

-2

(2n-1)(2n-3)

∴an= 

1，n=1 -2 (2n-1)(2n-3) ，n≥2

…（8分）
（2）bn=

Sn

2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用遞推公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，要注意對(duì)n=1的檢驗(yàn)是做題中容易漏掉的知識(shí)點(diǎn)，還考查了裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用．