Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，，點E在BC上，．

（1）求證：平面平面PAC；

（2）若直線PE與平面PAC所成的角的正弦值為，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）以A為原點，AB、AD、AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明平面PED⊥平面PAC．

（2）求出平面PAC的一個法向量和平面PCD的一個法向量，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣D的余弦值．

證明：（1）∵平面PAB⊥平面ABCD，

平面PAB∩平面ABCD＝AB，PA⊥AB，

∴PA⊥平面ABCD，

∵AB⊥AD，∴以A為原點，AB、AD、AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，

則A（0，0，0），D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），設P（0，0，λ），λ＞0，

則（2，4，0），（0，0，﹣2），（2，﹣1，0），

∴4﹣4+0＝0，0，

∴DE⊥AC，DE⊥AP，

∵AC∩AP＝A，∴DE⊥平面PAC，

∵DE平面PED，∴平面PED⊥平面PAC．

解：（2）由（1）知平面PAC的一個法向量為

（2，﹣1，0），

∵直線PE與平面PAC所成的角的正弦值為，

（2，1，﹣λ），

∴|cos|＝||，

解得λ＝±2，

∵λ＞0，∴λ＝2，即P（0，0，2），

設平面PCD的一個法向量為（x，y，z），

（2，2，0），（0，﹣2，2），

∴，取x＝1，得（1，﹣1，﹣1），

∴cos，

∵二面角A﹣PC﹣D的平面角是銳角，

∴二面角A﹣PC﹣D的余弦值為．