Question

函數(shù)y=a^x-1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A，若點A在直線mx+ny-1=0上，其中m、n＞0，則

2

m

+

1

n

的最小值為（　　）

• A、2

  2

• B、3
• C、3+2

  2

• D、6

Answer 1

分析：最值問題長利用均值不等式求解，適時應用“1”的代換是解本題的關鍵．函數(shù)y=a^x-1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A，知A（1，1），點A在直線mx+ny-1=0上，得m+n=1又mn＞0，∴m＞0，n＞0，下用1的變換構造出可以用基本不等式求最值的形式求最值．

解答：解：由已知定點A坐標為（1，1，由點A在直線mx+ny-1=0上，
∴m+n-1=0，即m+n=1，
又mn＞0，∴m＞0，n＞0，
∴

2

m

+

1

n

=(

2

m

+

1

n

)(m+n)=

2m+2n

m

+

m+n

n

=2+

2n

m

+

m

n

+1≥3+2•

n m • 2m n

=3+2

2

，
當且僅當 n=

2

-1，m= 2-

2

時取等號．
故選C．

點評：均值不等式是不等式問題中的確重要公式，應用十分廣泛．在應用過程中，學生常忽視“等號成立條件”，特別是對“一正、二定、三相等”這一原則應有很好的掌握．當均值不等式中等號不成立時，常利用函數(shù)單調性求最值．也可將已知條件適當變形，再利用均值不等式，使得等號成立．有時也可利用柯西不等式以確保等號成立，取得最值．