【題目】如圖，四棱錐中，側面為等邊三角形且垂直于底面，

.

（1）證明： ；

（2）若直線與平面所成角為，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）取的中點為，連接，由正三角形性質得，由矩形的性質得，根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，從而可得結論；（2）的方向為軸， 軸， 軸的正方向建立空間直角坐標系，分別求出平面的法向量與平面的法向量，利用空間向量夾角的余弦公式可得結果.

試題解析：（1）取的中點為，連接， 為等邊三角形， .底面中，可得四邊形為矩形， ， 平面， 平面.又，所以.

（2）由面面知， 平面， 兩兩垂直，直線與平面所成角為，即，由，知，得.分別以的方向為軸， 軸， 軸的正方向建立空間直角坐標系，則 ， ， 設平面的法向量為.，則，設平面的法向量為， ，則， ,由圖可知二面角的余弦值.

【方法點晴】本題主要考查線面垂直的判定定理以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據(jù)定理結論求出相應的角和距離.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）設a＞0，求函數(shù)f（x）在[2a，4a]上的最小值；
（3）某同學發(fā)現(xiàn)：總存在正實數(shù)a、b（a＜b），使ab=ba ， 試問：他的判斷是否正確？若不正確，請說明理由；若正確，請直接寫出a的取值范圍（不需要解答過程）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】二次函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點（0， ），且f′（x）=﹣x﹣1，則不等式f（10x）＞0的解集為（ ）
A.（﹣3，1）
B.（﹣lg3，0）
C.（ ，1）
D.（﹣∞，0）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】函數(shù)f（x）=﹣x2+2x﹣3，x∈[0，2]的值域是

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】 某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品，根據(jù)檢測標準，其合格產(chǎn)品的質量與尺寸之間近似滿足關系式（為大于的常數(shù)），現(xiàn)隨機抽取件合格產(chǎn)品，測得數(shù)據(jù)如下：

尺寸

質量

對數(shù)據(jù)作了初步處理，相關統(tǒng)計量的值如下表：

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求關于的回歸方程；

（2）按照某項指標測定，當產(chǎn)品質量與尺寸的比在區(qū)間內時為優(yōu)等品，現(xiàn)從抽取的件合格產(chǎn)品中再任選件，記為取到優(yōu)等品的件數(shù)，試求隨機變量的分布列和期望.

附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知圓O外有一點P，作圓O的切線PM，M為切點，過PM的中點N，作割線NAB，交圓于A、B兩點，連接PA并延長，交圓O于點C，連續(xù)PB交圓O于點D，若MC=BC．

（1）求證：△APM∽△ABP；
（2）求證：四邊形PMCD是平行四邊形．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了解患肺心病是否與性別有關，在某醫(yī)院對入院者用簡單隨機抽樣方法抽取50人進行調查，結果如下列聯(lián)表:

（Ⅰ）是否有的把握認為入院者中患肺心病與性別有關？請說明理由；

（Ⅱ）已知在患肺心病的10位女性中，有3位患胃病．現(xiàn)在從這10位女性中，隨機選出3名進行其它方面的排查，記選出患胃病的女性人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；

附：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

K

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在一條公路上，每隔100km有個倉庫（如圖），共有5個倉庫．一號倉庫存有10t貨物，二號倉庫存20t，五號倉庫存40t，其余兩個倉庫是空的．現(xiàn)在想把所有的貨物放在一個倉庫里，如果每噸貨物運輸1km需要0.5元運輸費，那么要多少才行？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上是單調遞增，若 ，△ABC的內角滿足f（cosA）＜0，則A的取值范圍是（ ）
A.（ ， ）
B.（ ，π）

C.（0， ）∪（ ，π）
D.（ ， ）∪（ ，π）

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