Question

長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，BB₁=2，E為BB₁的中點．（1）求證：AE⊥平面A₁D₁E；
（2）求二面角E-AD₁-A₁的正切值；
（3）求三棱錐A-C₁D₁E的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由正方體的性質(zhì)證出AE⊥A₁E，AE⊥A₁D₁，由線面垂直的判定證明AE⊥平面A₁D₁E；
（2）取AA₁的中點O，過O在平面ADD₁A₁中作OF⊥AD₁，交AD₁于F、連EF，根據(jù)二面角的定義證明∠EFO為二面角E-AD₁-A₁的平面角，在△AFO中求解即可；
（3）由（2）中的結(jié)論將點E到面AD₁C₁的距離，轉(zhuǎn)化為點F到面AD₁C₁的距離，再換底后代入三棱錐的體積公式求值．

解答： 證明：（1）由正方體的性質(zhì)得，A₁D₁⊥面A₁B₁BA，
∴AE⊥A₁D₁，
∵AB=AD=1，BB₁=2，E為BB₁的中點，∴AE⊥A₁E，
又A₁E∩A₁D₁=A₁，∴AE⊥平面A₁D₁E．
解：（2）取AA₁的中點O，連OE，
則EO⊥AA₁、EO⊥A₁D₁，AA₁∩A₁D₁=A₁，
∴EO⊥平面ADD₁A₁，∴EO⊥AD₁，
過O在平面ADD₁A₁中作OF⊥AD₁，交AD₁于F，
連EF，則AD₁⊥面EFO，
∴AD₁⊥EF，
∴∠EFO為二面角E-AD₁-A₁的平面角．
在△AFO中，OF=OA•sin∠OAF=OA•

A1D1

AD1

=1×

1

5

=

5

5

．
則tan∠EFO=

5

．
（3）由（2）知，EO∥D₁C₁，
且EO?面AD₁C₁，D₁C₁?面AD₁C₁，
∴EO∥面AD₁C₁，
又∵OF⊥AD₁，OF⊥D₁C₁，
∴OF⊥面AD₁C₁，
則點E到面AD₁C₁的距離是點F到面AD₁C₁的距離，
∴VA-C1D1E=VE-AC1D1=

1

3

•S△AC1D1•OF
=

1

3

×

1

2

×1×

5

×

5

5

=

1

6

．

點評：本題考查了二面角的求解過程，換底求三棱錐的體積，線面垂直的定義，性質(zhì)、判定，考查了空間想象能力、計算能力，分析解決問題能力，空間問題平面化是解決空間幾何體問題最主要的思想方法．