Question

已知函數(shù)y=sin（ωx+

π

4

）（ω＞0）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于

π

3

，若存在最小正數(shù)m，使得函數(shù)f（x）的圖象向左平移m個單位后所對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)，則該偶函數(shù)在[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由三角函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離即為周期的

1

2

T，從而可求T，然后根據(jù)周期公式可求ω，從而可得f（x），函數(shù)的圖象向左平移m個單位后所對應(yīng)的函數(shù)f（x+m）是偶函數(shù)，從而可求m，得平移后的函數(shù)解析式，即可求該偶函數(shù)在[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間．

解答： 解：由題意知，

T

2

=

π

3

，
∴T=

2π

3

，
∴ω=

2π

T

=3，
∴f（x）=sin（3x+

π

4

）；
又f（x+m）=sin（3x+3m+

π

4

）是偶函數(shù)，
∴3×0+3m+

π

4

=kπ+

π

2

（k∈Z），
即m=

kπ

3

+

π

12

（k∈Z）所以，最小的正實數(shù)m是

π

12

．
∴f（x+

π

12

）=sin（3x+3×

π

12

+

π

4

）=cos3x，
∴令π+2kπ≤3x≤2π+2kπ，可解得k=0時，該偶函數(shù)在[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間為[

π

3

，

2π

3

]．
故答案為：[

π

3

，

2π

3

]．

點評：本題主要考查了誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦公式，考查了由三角函數(shù)的部分圖象的性質(zhì)求解函數(shù)的解析式，還考查了三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．