Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA= ，∠ACB=90°，M是線段PD上的一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）． （Ⅰ）求證：BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角D﹣PC﹣A的正切值；
（Ⅲ）試確定點(diǎn)M的位置，使直線MA與平面PCD所成角θ的正弦值為 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，BC平面AC，∴PA⊥BC， ∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，又PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC．
（Ⅱ）取CD的中點(diǎn)E，則AE⊥CD，
∴AE⊥AB，又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AE，
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，，0，0），P（0，0， ），C（ ， ，0），D（ ，﹣ ，0）

∴ =（0，0， ）， =（ ，0）， ， ，
設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量 ，則 ，
∴ ，∴ ．
設(shè)平面PDC的一個(gè)法向量 ，則 ， ，
∴ ，∴ ，
設(shè)二面角D﹣PC﹣A的平面角為θ，
∴cosθ=|cos＜ ＞|=| |=| |= ，
故二面角D﹣PC﹣A的正切值為2．
（Ⅲ）設(shè)M（x，y，z）， ，
則（x，y，z﹣ ）=m（ ），
解得點(diǎn)M（ ），即 =（ ），
由sinθ= ，得m=1（不合題意舍去）或m= ，
所以當(dāng)M為PD的中點(diǎn)時(shí)，直線AM與平面PCD所成角的正弦值為 ．
【解析】（Ⅰ）由PA⊥底面ABCD，BC平面AC，知PA⊥BC，由∠ACB=90°，知BC⊥AC，由此能夠證明BC⊥平面PAC．（Ⅱ）取CD的中點(diǎn)E，則AE⊥CD，故AE⊥AB，由PA⊥底面ABCD，知PA⊥AE，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角D﹣PC﹣A的正切值．（Ⅲ）設(shè)M（x，y，z）， ，則（x，y，z﹣ ）=m（ ），解得點(diǎn)M（ ），由此能夠推導(dǎo)出當(dāng)M為PD的中點(diǎn)時(shí)，直線AM與平面PCD所成角的正弦值為 ．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，以及對(duì)空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．