設(shè)a、b、c為△ABC的三條邊，求證：1≤
a2+b2+c2ab+bc+ca
＜2．
分析：通過作差法先證明a2+b2+c2-（ab+bc+ac）≥1①，再利用三角形中兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，去證明2（ab+bc+ca）＜a2+b2+c2，從而可證
a2+b2+c2
ab+bc+ca
＜2②，聯(lián)立①②即可．
解答：證明：∵a、b、c為△ABC的三條邊，
∴a2+b2+c2-（ab+bc+ac）
=
1
2
[（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）+（b2-2bc+c2）]
=
1
2
[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]≥0，
∴a2+b2+c2-≥ab+bc+ac，
∴
a2+b2+c2
ab+bc+ca
≥1①；
又2（ab+bc+ca）
=（ab+bc）+（bc+ca）+（ca+ab）
=b（a+c）+c（a+b）+a（b+c） 
＞b•b+c•c+a•a
=a2+b2+c2，
∴
a2+b2+c2
ab+bc+ca
＜2②；
由①②得：1≤
a2+b2+c2
ab+bc+ca
＜2（證畢）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，著重考查綜合法，考查推理、證明能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=cos(2x+
π
6
)+sin2x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，若AB=1，sinB=
1
3
，f(
C
2
)=
3
2
，求AC的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=cos（2x-
π
3
）-
1
2
cos2x+1
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及最大值；
（2）設(shè)A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，若AB=1，sinB=
1
3
，f(
2C
3
)=
7
4
，且C為銳角，求AC的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

有下列幾個(gè)命題：①若
a
與
b
-
c
都是非零向量，則“
a
•
b
=
a
•
c
”是“
a
⊥(
b
-
c
)”的充要條件；②已知等腰△ABC的腰為底的2倍，則頂角A的正切值是
15
7
；③在平面直角坐標(biāo)系xoy中，四邊形ABCD的邊AB∥DC，AD∥BC，已知點(diǎn)A（-2，0），B（6，8），C（8，6），則D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-1）；④設(shè)
a
，
b
，
c
為同一平面內(nèi)具有相同起點(diǎn)的任意三個(gè)非零向量，且滿足
a
與
b
不共線，
a
⊥
c
，|
a
|=|
c
|，則|
b
•
c
|的值一定等于以
a
，
b
為鄰邊的平行四邊形的面積．其中正確命題的序號(hào)是
 
．（寫出全部正確結(jié)論的序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）如果a，b都是正數(shù)，且a≠b，求證a6+b6＞a4b2+a2b4
（2）設(shè)a，b，c為△ABC的三條邊，求證（a+b+c）2＜4（ab+bc+ca）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•南京模擬）A．選修4-1幾何證明選講
如圖，△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，∠BAC的平分線與BC交于點(diǎn)D．
求證：ED2=EB•EC．
B．矩陣與變換
已知矩陣A=
2-1
-43
，
4-1
-31
，求滿足AX=B的二階矩陣X．
C．選修4-4 參數(shù)方程與極坐標(biāo)
若兩條曲線的極坐標(biāo)方程分別為ρ=1與ρ=2cos（θ+
π
3
），它們相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．
D．選修4-5 不等式證明選講設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：a3+b3+c3+
1
abc
≥2
3
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案