Question

設(shè)斜率為k₁的直線L交橢圓C：于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn)，直線OM的斜率為k₂（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)k₁、k₂都存在）．
（1）求k₁?k₂的值．
（2）把上述橢圓C一般化為（a＞b＞0），其它條件不變，試猜想k₁與k₂關(guān)系（不需要證明）．請你給出在雙曲線（a＞0，b＞0）中相類似的結(jié)論，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）解：設(shè)直線方程為y=k₁x+b，代入橢圓方程并整理得：
（1+2k₁²）x²+4k₁bx+2b²-2=0，
，
又中點(diǎn)M在直線上，
∴，
從而得弦中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（），
，
∴．
（2）對于橢圓，
已知斜率為k₁的直線L交雙曲線（a＞0，b＞0）于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn)，直線OM的斜率為k₂（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)k₁、k₂都存在）．則k₁?k₂的值為．
（解一）、設(shè)直線方程為y=k₁x+d，
代入（a＞0，b＞0）方程并整理，
得：（b²-a²k₁²）x²-2k₁a²dx-a²d²-a²b²=0，
，
所以，
即．
（解二）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₂），B（x₂y₂），中點(diǎn)M（x₀，y₀）
則，
，

又因?yàn)辄c(diǎn)A，B在雙曲線上，
則與，
作差得，
即．
分析：（1）設(shè)直線方程為y=k₁x+b，代入橢圓方程并整理得：（1+2k₁²）x²+4k₁bx+2b²-2=0，，又中點(diǎn)M在直線上，所以，由此能求出k₁?k₂的值．
（2）對于橢圓，，已知斜率為k₁的直線L交雙曲線（a＞0，b＞0）于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn)，直線OM的斜率為k₂（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)k₁、k₂都存在）．則k₁?k₂的值為．
解法一：設(shè)直線方程為y=k₁x+d，代入（a＞0，b＞0）方程并整理得：（b²-a²k₁²）x²-2k₁a²dx-a²d²-a²b²=0，由此能求出．
解法二：設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₂），B（x₂y₂），中點(diǎn)M（x₀，y₀），則，又因?yàn)辄c(diǎn)A，B在雙曲線上，則與作差得到．
點(diǎn)評：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯點(diǎn)是計(jì)算繁瑣，容易出錯．