已知冪函數(shù)f(x)=x(2-k)(1+k),k∈Z,且f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
(1)求實(shí)數(shù)k的值,并寫出相應(yīng)的函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若F(x)=2f(x)-4x+3在區(qū)間[2a,a+1]上不單調(diào),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)試判斷是否存在正數(shù)q,使函數(shù)g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在區(qū)間[-1,2]上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103173104008920686/SYS201311031731040089206019_ST/0.png">.若存在,求出q的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】
分析:(1)由已知f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性與指數(shù)的關(guān)系可構(gòu)造關(guān)于k的不等式,解不等式求出實(shí)數(shù)k的值,并得到函數(shù)f(x)的解析式;
(2)由(1)中結(jié)果,可得函數(shù)F(x)的解析式,結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),可構(gòu)造關(guān)于a的不等式,解不等式求出實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)由(1)中結(jié)果,可得函數(shù)g(x)的解析式,結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),可求出q的值.
解答:解:(1)由題意知(2-k)(1+k)>0,
解得:-1<k<2.…(2分)
又k∈Z
∴k=0或k=1,…(3分)
分別代入原函數(shù),得f(x)=x
2.…(4分)
(2)由已知得F(x)=2x
2-4x+3.…(5分)
要使函數(shù)不單調(diào),則2a<1<a+1,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103173104008920686/SYS201311031731040089206019_DA/0.png)
.…(8分)
(3)由已知,g(x)=-qx
2+(2q-1)x+1.…(9分)
假設(shè)存在這樣的正數(shù)q符合題意,
則函數(shù)g(x)的圖象是開口向下的拋物線,其對(duì)稱軸為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103173104008920686/SYS201311031731040089206019_DA/1.png)
,
因而,函數(shù)g(x)在[-1,2]上的最小值只能在x=-1或x=2處取得,
又g(2)=-1≠-4,
從而必有g(shù)(-1)=2-3q=-4,解得q=2.
此時(shí),g(x)=-2x
2+3x+1,其對(duì)稱軸
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103173104008920686/SYS201311031731040089206019_DA/2.png)
,
∴g(x)在[-1,2]上的最大值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103173104008920686/SYS201311031731040089206019_DA/3.png)
,符合題意.
∴存在q=2,使函數(shù)g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在區(qū)間[-1,2]上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103173104008920686/SYS201311031731040089206019_DA/4.png">.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),冪函數(shù)的性質(zhì),熟練掌握基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.