Question

如圖，已知定點(diǎn)E（-1，0），F(xiàn)（1，0），動(dòng)點(diǎn)A滿足|AE|=4，線段AF的垂直平分線交AE于點(diǎn)M．
（1）求點(diǎn)M的軌跡C₁的方程；
（2）拋物線C₂：y²=4x與C₁在第一象限交于點(diǎn)P，直線PF交拋物線于另一個(gè)點(diǎn)Q，求拋物線的POQ弧上的點(diǎn)R到直線PQ的距離的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）判斷軌跡是橢圓，求解a，b即可得到橢圓方程．
（2）利用橢圓與拋物線取得P的坐標(biāo)，求出PQ的方程，利用直線方程與拋物線方程求出直線方程，然后求解拋物線的POQ弧上的點(diǎn)R到直線PQ的距離的最大值．

解答： 解：（1）依題意有|ME|+|MF|=|ME|+|MA|
=|AE|=4＞|EF|=2
∴點(diǎn)M的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓．…（3分）
∵2a=4，2c=2，
∴a=2，b=

3

，
故所求點(diǎn)M的軌跡方程是

x2

4

+

y2

3

=1…（6分）
（2）聯(lián)立方程

y2=4x x2 4 + y2 3 =1

，可得3²+16x-12=0，
解得x=

2

3

或x=-6（舍去）
將x=

2

3

代入拋物線方程得y=

2 6

3

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

2

3

，

2 6

3

）…（8分）
可得k_PF=-2

6

，于是可得PQ所在直線的方程為：2

6

x+y-2

6

=0…（9分）
設(shè)PQ的平行線方程為：2

6

x+y+t=0．
由

y2=4x 2 6 x+y+t=0

⇒24x2+4(

6

-1)x+t2=0
令△=16(

6

t-1)2-96t2=0，解得t=

6

12

…（11分）
∵R到PQ的最大距離即為直線2

6

x+y+

6

12

=0與PQ之間的距離，
故所求為d=

6 12 +2 6

24+1

=

5

12

6

  …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，直線方程與排趨性方程的關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離，考查分析問題解決問題的能力．