已知動圓過定點,且與直線
相切,其中
.
(I)求動圓圓心C的軌跡的方程;
(II)設(shè)A、B是軌跡C上異于原點O的兩個不同點,直線OA和OB的傾斜角分別為和
,當(dāng)
、
變化且
+
=
時,證明直線AB恒過定點,并求出該定點的坐標.
解:(I)如圖,
設(shè)M為動圓圓心,(,0)為記為F,過點M作直線x=-
的垂線,垂足為N,由題意知:|MF|=|MN|
即動點M到定點F與定直線x=-的距離相等。由拋物線的定義知,點M的軌跡為拋物線,其中F(
,0)為焦點,x=-
為準線,所以軌跡方程為
。
(II)如圖,設(shè)A(),B(
),由題意得
。
又直線OA,OB的傾斜角,
滿足
+
=
,故0<
<
∴直線AB的斜率存在,否則,OA,OB直線的傾斜角之和為。
從而設(shè)直線AB的方程為,
顯然,將
與
聯(lián)立,消去
,
得
由韋達定理知(*)
由,得
將(*)式代入上式整理化簡,得。
此時,直線AB的方程可表示為:,
即。所以直線AB恒過定點(-
,
)。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(05年山東卷理)(14分)
已知動圓過定點,且與直線
相切,其中
.
(I)求動圓圓心的軌跡的方程;
(II)設(shè)A、B是軌跡上異于原點
的兩個不同點,直線
和
的傾斜角分別為
和
,當(dāng)
變化且
為定值
時,證明直線
恒過定點,并求出該定點的坐標.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知動圓過定點,且與直線
相切.
(1) 求動圓的圓心軌跡
的方程;
(2) 是否存在直線,使
過點(0,1),并與軌跡
交于
兩點,且滿足
?若存在,求出直線
的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題滿分13分)已知動圓過定點,且與直線
相切.
(1) 求動圓的圓心軌跡的方程;(2) 是否存在直線
,使
過點(0,1),并與軌跡
交于
兩點,且滿足
?若存在,求出直線
的方程;若不存在,說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知動圓過定點,且與直線
相切.
(1) 求動圓的圓心軌跡的方程;
(2) 是否存在直線,使
過點
,并與軌跡
交于
兩點,且滿足
?若存在,求出直線
的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年浙江省高三第二次階段性考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分15分)
已知動圓過定點
,且與直線
相切,橢圓
的對稱軸為坐標軸,一個焦點是
,點
在橢圓
上.
(Ⅰ)求動圓圓心的軌跡
的方程及其橢圓
的方程;
(Ⅱ)若動直線與軌跡
在
處的切線平行,且直線
與橢圓
交于
兩點,問:是否存在著這樣的直線
使得
的面積等于
?如果存在,請求出直線
的方程;如果不存在,請說明理由.
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