已知動圓過定點,且與直線相切,其中.

(I)求動圓圓心C的軌跡的方程;

(II)設(shè)A、B是軌跡C上異于原點O的兩個不同點,直線OA和OB的傾斜角分別為,當(dāng)、變化且+=時,證明直線AB恒過定點,并求出該定點的坐標.

解:(I)如圖,

設(shè)M為動圓圓心,(,0)為記為F,過點M作直線x=-的垂線,垂足為N,由題意知:|MF|=|MN|

即動點M到定點F與定直線x=-的距離相等。由拋物線的定義知,點M的軌跡為拋物線,其中F(,0)為焦點,x=-為準線,所以軌跡方程為

(II)如圖,設(shè)A(),B(),由題意得。

又直線OA,OB的傾斜角, 滿足+=,故0<<

∴直線AB的斜率存在,否則,OA,OB直線的傾斜角之和為。

從而設(shè)直線AB的方程為

顯然,將聯(lián)立,消去,

由韋達定理知(*)

,得

將(*)式代入上式整理化簡,得。

此時,直線AB的方程可表示為:,

。所以直線AB恒過定點(-)。

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(05年山東卷理)(14分)

已知動圓過定點,且與直線相切,其中.

(I)求動圓圓心的軌跡的方程;

(II)設(shè)A、B是軌跡上異于原點的兩個不同點,直線的傾斜角分別為,當(dāng)變化且為定值時,證明直線恒過定點,并求出該定點的坐標.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知動圓過定點,且與直線相切.

(1) 求動圓的圓心軌跡的方程;

(2) 是否存在直線,使過點(0,1),并與軌跡交于兩點,且滿足?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本小題滿分13分)已知動圓過定點,且與直線相切.

(1) 求動圓的圓心軌跡的方程;(2) 是否存在直線,使過點(0,1),并與軌跡交于兩點,且滿足?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知動圓過定點,且與直線相切.

(1) 求動圓的圓心軌跡的方程;

(2) 是否存在直線,使過點,并與軌跡交于兩點,且滿足

?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年浙江省高三第二次階段性考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(本小題滿分15分) 已知動圓過定點,且與直線相切,橢圓 的對稱軸為坐標軸,一個焦點是,點在橢圓上.

(Ⅰ)求動圓圓心的軌跡的方程及其橢圓的方程;

(Ⅱ)若動直線與軌跡處的切線平行,且直線與橢圓交于兩點,問:是否存在著這樣的直線使得的面積等于?如果存在,請求出直線的方程;如果不存在,請說明理由.

 

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