Question

已知在△ABC中，AC=3，BA=4，BC=5，⊙O₁是△ABC的內(nèi)切圓，做⊙O₂與AB，BC，及⊙O₁都相切，作⊙O₃與AB，BC，⊙O₂都相切，如此繼續(xù)下去，求所有這些圓的面積的和．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程

專題：直線與圓

分析：由條件數(shù)形結(jié)合利用圓的切線性質(zhì)、直角三角形中的邊角關(guān)系求得r₁=1，r₂=

11-2 10

9

•r1 同理求得，r₃=

11-2 10

9

•r2，…，r_n=

11-2 10

9

•rn-1，可得 r_n=

(11-2 10 )n-1

9n-1

．再根據(jù)無窮遞縮等比數(shù)列的各項和的定義，求得所有這些圓的面積的和．

解答： 解：如圖所示：由題意可得，這些圓的圓心都在角B的平分線上BM上，
⊙O₁與△ABC的邊CB、CA、AB的交點(diǎn)分別為D、E、F，則⊙O₁與的半徑為r₁=EO₁=DO₁=FO₁，
則由圓的切線性質(zhì)可得AE=AF，BD=BF，CE=CF，∴BC=BD+CD=BF+CE=AB-r₁+AC-r₁=7-2r₁=5，
∴r₁=1，F(xiàn)O₁=1，BF=4-1=3，tan∠O₁BF=

FO1

BF

=

1

3

．
設(shè)⊙O₂的半徑為r₂，則O₁O₂=r₁+r₂，O₁G=r₁-r₂，∴O₂G=

O1O22-O1G2

=

(r1+r2)2-(r1-r2)2

=2

r1•r2

．
又O₂G=

O1G

tan∠O1BF

=3O₁G=3（r₁-r₂），∴2

r1•r2

=3（r₁-r₂），解得r₂=

11-2 10

9

•r1．
同理求得，r₃=

11-2 10

9

•r2，…，r_n=

11-2 10

9

•rn-1，
故有 r_n=

(11-2 10 )n-1

9n-1

．
故所有這些圓的面積的和為 S_n=π[r12+r22+r32+…+rn2]，和式中的各項構(gòu)成以π為首項，以

161-44 10

81

為公比的無窮遞縮的等比數(shù)列，
故所有這些圓的面積的和為

lim

n→∞

S_n=

π

1- 161-44 10 81

=

81π

44 10 -80

．

點(diǎn)評：本題主要考查圓的切線性質(zhì)，直角三角形中的邊角關(guān)系，無窮遞縮等比數(shù)列的各項和的定義和求法，屬于中檔題．