函數(shù)f(x)=x2-2ax-3在區(qū)間[1,2]上存在反函數(shù)的充分必要條件是( )
A.a(chǎn)∈(-∞,1]
B.a(chǎn)∈[2,+∞)
C.α∈[1,2]
D.a(chǎn)∈(-∞,1]∪[2,+∞)
【答案】分析:本題考查反函數(shù)的概念、充要條件的概念、二次函數(shù)的單調(diào)性等有關(guān)知識(shí).
根據(jù)反函數(shù)的定義可知,要存在反函數(shù),則原函數(shù)在此區(qū)間上是單調(diào)的,由此根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)抽和閉區(qū)間的相對(duì)關(guān)系即可作出判斷.
解答:解析:∵f(x)=x2-2ax-3的對(duì)稱(chēng)軸為x=a,
∴y=f(x)在[1,2]上存在反函數(shù)的充要條件為[1,2]⊆(-∞,a]或[1,2]⊆[a,+∞),
即a≥2或a≤1.
答案:D
點(diǎn)評(píng):本題雖然小巧,用到的知識(shí)確實(shí)豐富的,具有綜合性特點(diǎn),涉及了反函數(shù)、充要條件、二次函數(shù)等三個(gè)方面的知識(shí),是這些內(nèi)容的有機(jī)融合,是一個(gè)極具考查力的小題;
解題中易錯(cuò)點(diǎn)有反函數(shù)存在的條件不清晰、充要條件的判定不準(zhǔn)確、二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸與其單調(diào)性的關(guān)聯(lián)的確定.