Question

設(shè)0＜a＜1，函數(shù)f(x)＝的定義域為[m，n]，值域為[log_aa(n－1)，log_aa(m－1)]．

(1)求證：m＞3；

(2)求a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由＞0得x＞3或x＜－3，∴n＞m＞3或－3＞n＞m，又由函數(shù)的值域可知n＞1，m＞1，所以n＞m＞3，故m＞3得證． 　　(2)設(shè)u＝，則u＝1，在[m，n]上為減函數(shù)，而0＜a＜1，y＝logau為減函數(shù)，所以y＝f(x)在[m，n]上為減函數(shù)，從而f(x)的值域為[f(n)，f(m)]，即[loga]． 　　依題意有∴ 　　由此可知m、n是方程＝a(x－1)的兩根．此方程整理得ax2＋(2a－1)x＋3－3a＝0．① 　　由于m、n＞3，故方程①應(yīng)有大于3的兩不等實根，注意到a＞0，所以應(yīng)有 　　得解得：0＜a＜． 　　點評：此題是從復(fù)合函數(shù)角度綜合考查對數(shù)的概念、函數(shù)單調(diào)性，且巧妙地利用方程根的概念將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的研究．同時提醒大家注意，求值范圍的題目 　　一般要求尋求使問題成立的等價條件，因此對問題進行變換時注意等價轉(zhuǎn)化．