Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁所有棱長都是2，D是棱AC的中點，E是棱CC₁的中點，AE交A₁D于點H．
（1）求證：AE⊥平面A₁BD；
（2）求二面角D-BA₁-A的大�。ㄓ梅慈�角函數表示）
（3）求點B₁到平面A₁BD的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空間直角坐標系，利用得到AE⊥A₁D，AE⊥BD，從而證得AE⊥平面A₁BD．
（2）先求出面DA₁B的法向量，面BA₁A的法向量，再利用兩法向量夾角與二面角的平面角相等或互補的關系求解即可．
（3）點B₁到平面A₁BD的距離等于在面A₁BD的法向量方向上投影的絕對值．
解答：解：（1）證明：以DA所在直線為x軸，過D作AC的垂線為y軸，DB所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（1，0，0），C（-1，0，0）
E （-1，-1，0）A₁ （1，-2，0）C₁ （-1，-2，0）B （0，0，）        
=（-2，-1，0）=（-1，2，0）=（0.0，-）      

∵=2-2+0=0
∵=0，∴∴
即AE⊥A₁D，AE⊥BD，又A₁D∩BD=D
∴AE⊥面A₁BD
（2）設面DA₁B的法向量為=（x₁，y₁，z₁）由
得取=（2，1，0）
設面BA₁A的法向量為，
同理由
解得=（3.0，），
cos＜＞=．
由圖可知二面角D-BA₁-A為銳二面角，所以它的大小為arccos．
（3）=（0，2，0）平面A₁BD的法向量取=（2，1，0）
則點B₁到平面A₁BD的距離d=．
點評：本題考用空間向量解決直線和平面位置關系、二面角大小，點面距的計算，考查轉化的思想方法，空間想象能力，計算能力．屬于常規(guī)題目．